TEMA 5: EL VOLUMEN.

 
 

INTRODUCCIÓN

        Llamamos materia a todo aquello que pesa y que ocupa espacio.
        A veces empleamos también el término de cuerpo material para referimos a aquello que es materia. Por ejemplo un reloj es un cuerpo material; también es un cuerpo material el aceite de una botella, el aire de una habitación o una nube, etc.
        Pero en Ciencia se prefiere usar la palabra sistema para referirnos a un cuerpo material o conjunto de cuerpos materiales. Así podemos decir que el reloj es un sistema, pero también lo seña, desde el punto de vista de la Ciencia, el aceite, el aire o una nube.
        La Ciencia considera que; el Universo está constituido de vacío y materia.
Según la teoría cinético-molecular, las moléculas (que son invenciones de los científicos) son la materia. Todo lo que vemos, olemos o tocamos está constituido por moléculas. Los cuerpos materiales son conjuntos de moléculas que pueden estar unidas de diferente manera formando lo que nosotros observamos como sólidos, líquidos o gases.
 

VOLUMEN

        Todos los cuerpos ocupan un lugar en el espacio. Un espacio limitado que no puede ser ocupado por otro cuerpo. El volumen no es más que el espacio ocupado por un cuerpo.
        Así, por ejemplo, para poner a flote un barco hundido lo que se hace es quitar el agua que hay en su interior llenándolo de aire.
        Universalmente se toma como unidad de medida de volúmenes un cubo de arista un metro. Se llama metro cúbico (m3). Los múltiplos y divisores del m3 se construyen a partir de cubos cuyas aristas sean las unidades de longitud. Tenemos entonces:
 
 
Nombre
Símbolo
Equivalencia
kilómetro cúbico
km3
109 m3
hectómetro cúbico
hm3
106 m3
decámetro cúbico
dam3
103 m3
metro cúbico
m3
1 m3
decímetro cúbico
dm3
10-3 m3
centímetro cúbico
cm3
10-6 m3
milímetro cúbico
mm3
10-9 m3
 
 
5.1 Efectúa los siguientes cambios de unidades 
 
    a) ¿Cuántos m3 son 600 cm3?   
    b) ¿ Cuántos dm3 son 3’5 m3 
    c) ¿ Cuántos dam3 son 0’205 dm3? 
    d) ¿ Cuántos mm3 son 5 hm3
  
 
 
 

FÓRMULAS PARA CALCULAR EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS

De forma rápida, se puede averiguar a cuántas unidades de volumen equivale el volumen de un cuerpo que tiene forma de figura geométrica regular midiendo la longitud de sus dimensiones y efectuando alguna operación matemática adecuada.
Áreas y Volúmenes
 
 
Cubo
A = 6 l2
V = l3
Cilindro
A = 2r ( h + r )
V = r2 · b
Ortoedro
A = 2 (ab + ac + bc)
V = abc
Cono
A = r·(g + r)
V = r2 · h
g: generatriz
Prisma recto
A = P (h + a)
V = AB · b
P: perímetro                  AB: área base
Tronco de cono
A =[g (R + r) + R2 + r2]
V = h·(R2 + r2 + Rr)
Tetraedro regular
A = l2 
V = 
Esfera
A = 4R2
V = R3 
Octaedro regular
A = 2·l2 
V = 
Huso-Cuña esférica
A =  · nº
V = · · nº
Pirámide recta
A = P·(a + a')
V = AB·h
Casquete esférico
A = 2 R·h
V = ·h2·(3R-h)
Tronco de pirámide
A = (P+P')·a + AB+AB'
V = h(AB+AB'+)
Zona esférica
A = 2R·h
A = ·(h2 + 3r2 +3r'2)
 
 
 
5.2 Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican -, 
    a) Volumen del depósito de gasolina de un coche = 50 dm3.                                 a)                                  cm3 
    b) Volumen terrestre = 1083,26 Em                                                                     b)                                    m3 
    c) Volumen de la Luna = 0’020254 volúmenes terrestres                                      c)                                  hm3  
    d) Volumen del Sol =  1301200 volúmenes terrestres                                            d)                                  km3 
    e) Volumen de aire de los pulmones = 4760000 mm3                                             e)                                   dm3 
    f) Volumen de un barril de petróleo = 0’000163654 dam3                                   f)                                   dm3 
    g) Volumen del agua salada en la Tierra = 1’2856 Mm3                                         g)                                     m3 
    h) Volumen de la pirámide de Keops =  0’0025 km                                               h)                                    m3
5.3 EL VOLUMEN DE TU AULA 

Mide las dimensiones del aula en la que estás. 

    a) A partir de estos datos, calcula su volumen. Da el resultado con el número adecuado de cifras significativas. Puesta en común: valor medio y errores. 
     
    Grupos
    Media
    Altura
     
     
     
     
     
     
    Largo
     
     
     
     
     
     
    Ancho
     
     
     
     
     
     
    Volumen
     
     
     
     
     
     
    b) Si el aire de la clase esta compuesto, fundamentalmente, de oxígeno y nitrógeno en las siguientes proporciones: 20 % de O2 y 80 % de N2, calcular los m3 de oxigeno que hay en el aula. 
    Solución con sus correspondientes operaciones:
 
 

EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY

        El rey Hierón II de Siracusa había encargado una nueva corona de oro a un orfebre entregándole un lingote de oro como materia prima. Hierón, hombre práctico, había medido con exactitud la masa del lingote y midió, después, la masa de la corona que recibió. Las dos medidas eran exactamente iguales. ¡Buen negocio!
        Pero luego se sentó y meditó. Tal vez el orfebre había sustraído una pequeña cantidad de oro, no demasiado, y la había sustituido por una masa igual de cobre, mucho menos valioso. La aleación resultante seguiría conservando el aspecto de oro puro. Hierón habría sido estafado.
        La idea de que lo engañaran le gustaba tanto como a cualquiera, pero no sabía la forma de averiguar con seguridad si le habían timado o no. Era difícil castigar al orfebre por una simple sospecha. ¿Qué hacer?
        Arquímedes fue llamado a la corte y se le expuso el problema. Debía determinar si la corona era de oro puro, o sí se trataba de oro al que había sido añadida una pequeña, pero significativa, cantidad de cobre.
        Podríamos reconstruir así el razonamiento de Arquímedes: si el orfebre hubiese sustituido parte del oro de la corona por una masa igual de otra sustancia, por ejemplo cobre, la masa total de la corona sería la misma pero el volumen seria diferente ya que una misma cantidad de materias diferentes ocupan volúmenes distintos. Conociendo el volumen ocupado por la corona podría contestar a Hierón. Lo que no sabía era como averiguar el volumen de la corona sin transformarla en, un cuerpo geométrico regular.
        Arquímedes, cansado de pensar decidió acudir a los baños públicas y tranquilizarse. Nos lo podemos representar mentalmente participando en discusiones, comentando las últimas noticias, los escándalos ciudadanos más recientes y luego sumergiéndose en una bañera demasiado llena. El agua se vertió al entrar Arquímedes en el baño. De pronto, se puso en pie como impulsado por un resorte: se había dado cuenta de que su cuerpo desplazaba agua fuera de la bañera. El volumen de agua desplazado tenía que ser igual al volumen de su cuerpo. Para averiguar el volumen de cualquier cosa bastaba con medir el agua que desplazaba.
        Arquímedes no pudo esperar: saltó de la bañera y, desnudo y empapado, salió a la calle y corrió a casa gritando una y otra vez: ¡Eureka! ¡Eureka!
        Llenó de agua un recipiente, metió la corona y midió el volumen de agua desplazada. Luego hizo lo mismo con una masa igual de oro puro. El volumen desplazado era distinto. El oro de la corona había sido mezclado con otro metal, lo cual le daba un volumen diferente y hacía que la cantidad de agua que rebosaba fuese distinta.
        El rey ordenó ejecutar al orfebre.
 
 
5.4  En una probeta de 100 cm3 que contiene 80 cm3 de agua, se sumerge totalmente una pieza de hierro de 30 cm3 de volumen. ¿Cuánta agua se derramará? 

5.5 Disponemos de una probeta de 100 cm3 que contiene 75 cm3 de agua. Sumergimos las 3/5 partes de una pieza de latón, y el agua alcanza el nivel de 93 cm3. ¿Cuál será el volumen total de la pieza? 
 

 
 

LA SANGRE

        La sangre, el líquido que el corazón hace circular a través de las arterias y venas de nuestro organismo, es un elemento fundamental para el mantenimiento de la vida y de la funciones celulares. Gracias a la circulación de este liquido se transportan sustancias de unos lugares a otros del organismo, de forma que las células pueden nutrirse y eliminar sus productos de desecho.
        La sangre es un tejido formado por dos componentes el plasma y las células sanguíneas. El volumen total de la sangre es de, aproximadamente, 5 dm3 en los hombres, y 3,5 dm3 en las mujeres.
        Existen tres tipos de células sanguíneas: glóbulos rojos, glóbulos blancos y plaquetas.
 
 
5.6 El número de glóbulos rojos normal es de 5 millones en los hombres y 4,5 millones en las mujeres por cada mm3 de sangre. 
    a) Calcula la cantidad de glóbulos rojos que hay en la sangre de una mujer. 
    b) La falta de glóbulos rojos se denomina anemia. Ordena los siguientes tipos de sangre del de mayor concentración de glóbulos rojos al de menor, indicando los casos de anemia: 
       
      4'7 · 106 por mm3 
      4'8 · 1011 por dm3 
      3 · 1012 por dm3 
      49 · 105 por mm3 
      5'06 · 108 por cm3
       
5.7 Hay dos grandes tipos de glóbulos blancos: leucocitos y linfocitos. El número normal de glóbulos blancos oscila entre 5.000 y 8.000 por mm3. Una persona tiene 6,9·107 glóbulos blancos en 1 dm3 de sangre. 
    a) ¿Cuántos tendrá por mm3? 
    b) ¿Está dentro de los límites normales? 
5.8 Las plaquetas, también llamadas trombocitos, tienen por misión intervenir en la coagulación de la sangre. La cantidad normal de plaquetas en la sangre es de 250.000 por mm3. Una persona tiene 2,4·1011 plaquetas por dm3 de sangre: 
    a) ¿Cuántas plaquetas tendrá por mm3. 
    b) ¿Está dentro de lo normal? 
5.9 La mayor parte de nuestras células se mueren si les falta oxigeno. 
    a) Una persona realiza, por término medio, 16 respiraciones por minuto. Si en cada respiración la cantidad de aire expirada e inspirada es de 500 cm3, calcula el volumen de aire que entra y sale de sus pulmones a lo largo de un año. Expresa el resultado en m3. 
    b) El intercambio de gases entre el aire y la sangre se produce en los alvéolos. Observa la siguiente tabla correspondiente a los volúmenes de cada uno de los gases  contenidos en 100 cm3 de sangre y contesta a las cuestiones siguientes: 
       
       
      Sangre que entra en los pulmones
      Sangre que sale de los pulmones
      Nitrógeno
      0'9 cm3
      0'9 cm3
      Oxígeno
      10'6 cm3
      19'0 cm3
      Anhídrido carbónico
      58'0 cm3
      50'0 cm3
        
    ¿Qué muestra de sangre contiene más oxigeno y cuál menos? 
    ¿Qué muestra de sangre contiene más cantidad de anhídrido carbónico y cuál menos? 
    A partir de las respuestas anteriores explica el intercambio de gases que tiene lugar. 
 
 
 

LA CAPACIDAD

        El volumen de los líquidos (leche, aceite, agua, vino, etc.) y de ciertas materias secas (cereales, legumbres, etc.) se mide utilizando recipientes de medidas fijas que los contengan. El volumen interior de esos recipientes se denomina capacidad y su unidad es el litro, definido como la capacidad de 1 dm3.
        Las unidades que se pueden formar a partir del litro son:
 
 
Nombre
Símbolo
Equivalencia
kilolitro
kl
103 l = m3
hectolitro
hl
102 l
decalitro
dal
10 l
litro
l
1 l = 1 dm3
decilitro
dl
10-1 l
centilitro
cl
10-2 l
mililitro
ml
10-3 l = 1 cm3
 
 
5.10 Realiza los siguientes cambios de unidades 
    a) ¿Cuantos litros son 50 cl? 
    b) ¿Cuántos litros son 3,6 dal? 
    c) ¿Cuántos decalitros son 0,50 kl? 
    d) ¿Cuántos decalitros son 20’5O cl? 
5.11 Una gota de agua al convertirse en vapor de agua multiplica su volumen por 1700. Calcula: 
    a) El volumen que ocuparán 5 cm3 de agua transformados en vapor. Expresa el resultado en litros. 
    b) El volumen, en mm3, que ocuparán 4,25 litros de vapor de agua al condensarse. 
 5.12 El galón es una unidad de capacidad utilizada en los países anglosajones. Su equivalencia es de 3,7852 litros. ¿Cuántos cm3 serán 2 galones y medio? 
 
 
 
 

5.13 El envase tetrabric 

Objetivo 
    Comprobar que el litro es la capacidad de cualquier recipiente cuyo volumen sea 1 dm3. 
    La comprobación la vas a hacer con un envase de los denominados tetrabric que se utilizan para contener leche, vino, zumos, etc. Estos envases presentan la particularidad de que presentan forma de paralelepípedo y que su capacidad es de 1 litro. 
Material: 
  • Envase tetrabric. 
  • Regla graduada en mm .
Procedimiento: 
  • Grupo de 3 ó 4 alumnos 
  • Cada grupo mide las tres dimensiones del envase y calcula el volumen dando el resultado con el número adecuado de cifras significativas. 
  • Puesta en común: valor medio y errores. 

  •  
     
    Grupos
    Media
    Altura
     
     
     
     
     
     
    Largo
     
     
     
     
     
     
    Ancho
     
     
     
     
     
     
    Volumen
     
     
     
     
     
     
     
 
 

PANTANOS Y EMBALSES.

        Los pantanos son grandes obras de ingeniería que se construyen, fundamentalmente, con dos fines:
            a) Para obtener energía eléctrica (centrales hidroeléctricas).
            b) Para regadío y consumo.
        El abastecimiento del agua de los embalses proviene del agua del río en que se construyen y su volumen dependerá de la lluvia y del consumo que se realice.
        En épocas de pocas lluvias habrás oído hablar de que tal o cual pantano está a la mitad, un tercio, etc. de su capacidad. También habrás escuchado en alguna ocasión que debido a lluvias torrenciales ha sido preciso abrir las compuertas de los embalses para evitar su desbordamiento o rotura. De hecho, en alguna ocasión, han ocurrido accidentes debidos a fallos en el sistema de apertura o cierre de compuertas.
 
 
 
5.14 A continuación tienes una tabla con la capacidad, el volumen máximo y el volumen mínimo alcanzado por cuatro embalses españoles durante el año 1986. 
 
 
Embalse
Río
Capacidad
Volumen máximo
Volumen mínimo
Canelles
N. Ribagorzana
567 millones m3
137 hm3
111000 dam3
Mequinenza
Ebro
1534000 dam3
1493·106 m3
892 hm3
Almendra
Tormes
2649 hm3
2'227 106 dam3
1'783 km3
Alcántara
Tajo
3162 km3
2'214 km3
1599·106 m3
 
    a) Ordena, en orden decreciente, los cuatro embalses. Para ello calcula la capacidad de cada embalse en hm3. 
    b) Indica el orden de magnitud del volumen máximo de cada uno de los embalses. 
    c) Escribe, en notación científica, el volumen mínimo expresado en hm3. 
    d) Barcelona consume para la industria y para la vivienda 1037 millones de litros de agua cada día. ¿Para cuántos días tendría la ciudad de Barcelona con el agua embalsada en el embalse de Canelles en el momento de su mínimo volumen? 
 
 
 
 
5.15 Cuando el agua se hiela aumenta 1/10 su volumen. Calcular los litros de agua que se obtienen al fundirse un bloque de hielo, que ocupa 180 dm3. 

5.16 Un cono de revolución, que tiene de generatriz 13 cm y de radio en la base tiene 5 cm se corta paralelamente a la base por un plano trazado por el punto de la generatriz que dista del vértice 5’2 cm. Calcular el volumen del tronco de cono resultante. 

5.17 Un rectángulo tiene de base 21 cm y de altura 10 cm. En este rectángulo hay un triángulo con la misma base, que tiene el tercer vértice en un punto del lado opuesto a la base del rectángulo. Toda la figura gira 360º al rededor de la base, y se desea saber la capacidad en litros, comprendida entre la figura engendrada por el rectángulo y la engendrada por el triángulo. 

5.18 El área total de un cubo es de 486 cm2. ¿Cuál es el volumen del octaedro cuyos vértices son los centros de las caras de dicho cubo? 

5.19 Hallar el volumen de un paralelepípedo rectángulo sabiendo que su base es un cuadrado de 72 cm2 de área y la diagonal del paralelepípedo mide 13 cm. 

5.20 ¿Cuál es el menor número de tubos de ensayo necesarios para contener un litro de líquido si cada uno tiene 2 cm de diámetro, siendo su fondo una semiesfera y la altura total del tubo 1'6 dm? 

5.21 Un depósito de gas tiene forma cilíndrica con dos semiesferas en los extremos. Si la longitud total del depósito es 4’25 m y el diámetro es de 1’2 m, calcula: 

    a) El área total. 
    b) La cantidad de pintura que se necesita para pintarlo si un litro de pintura cubre 8 m2
    c) El volumen. 
5.22 Las aristas de un ortoedro son proporcionales a los números 3, 4 y 12. La diagonal del ortoedro mide 6’5 dm. Calcular el área total y el volumen del ortoedro. 

5.23 Un trapecio isósceles gira alrededor de su base mayor y engendra un volumen. Hallar éste, si la base mayor mide 50 metros, la menor 40 metros y el tercer lado 13 metros. 

 
 
 
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