Algunos problemas curiosos para la clase de Matemáticas

 
 

Una frase con problema

Este problema fue propuesto en una Olimpíada Matemática para alumnos de 8º de EGB y 2º de ESO.

    "En esta frase el 0 aparece x0 veces, el 1 aparece x1 veces, el 2 aparece x2 veces, el 3 aparece x3 veces, el 4 aparece x4 veces, el 5 aparece x5 veces, el 6 aparece x6 veces, el 7 aparece x7 veces, el 8 aparece x8 veces y el 9 aparece x9 veces".

    Se trata de sustituir las xi por números naturales (1, 2, ...), de manera que la frase sea cierta en su totalidad. Se hace constar que la palabra "veces" puede ser cambiada por "vez", si alguno de los valores fuera un 1.
 

Variante del problema

    ¿Existe solución en el caso de que todas las xi sean iguales?
 



 

Adivinanza con el Dominó

 
Planteamiento del juego

    En este juego hay un "jugador" que manipula las fichas y un "adivinador" que no está presente en el juego y que sólo interviene al final. Se ponen todas las fichas del dominó boca abajo y el jugador procede de la siguiente manera:
 

    En este momento el adivinador, que no ha estado presente en ningún momento del juego, observa la situación y "adivina" la suma de los tantos que hay en B, conjunto de fichas que ha ido tomando el jugador.

    ¿Cómo lo hace?
 


El sorteo de la mili

Es bien conocida la polémica suscitada por el sorteo de la mili del pasado año. Mostramos aquí un ejemplo sencillito que ilustra cómo, a pesar de que el sorteo estuvo mal hecho, el error no afectó a la suerte de los mozos, debido a la existencia de una asignación previa de un número supuestamente aleatorio.

Supongamos 16 mozos a los que se les ha asignado aleatoriamente un número del 00 al 15.

Se realiza el siguiente sorteo:

El proceso consta, pues, de dos sorteos: un primer sorteo por el que a cada mozo se le ha asignado un número aleatoriamente y un segundo sorteo en el que, evidentemente, todos los números NO tienen la
misma probabilidad de salir.

Por ejemplo:

p(04) = 1/2 . 1/10 = 1/20                y                p(12) = 1/2 . 1/6 = 1/12

Pero en la totalidad del proceso todos los mozos SÍ  tienen la misma probabilidad de salir.

En efecto: la probabilidad de salir tras el segundo sorteo un determinado mozo es:
 
 

p = 10/16 . 1/2 .1/10 + 6/16 . 1/2 . 1/6 = 1/16
 

que es la probabilidad obtenida si hubiéramos puesto los 16 números en un bombo y hubiéramos hecho una simple extracción. Obsérvese que el factor 10/16 es la probabilidad de que en el primer sorteo le haya correspondido al mozo un número que empiece por 0, y análogamente para el factor 6/16.

Como un mozo se libra si sale su número o alguno de los tres anteriores,  resulta que la probabilidad de que un mozo se libre es:
 

P = 1/16+1/16+1/16+1/16 = 1/4
la misma para todos.


Problema en verso

 
    En casa de mi vecino 
    son doce para comer, 
    los papás y cuatro abuelos, 
    y seis infantes también, 
    que unidos sus años suman 
    once veces treinta y tres. 

    Los niños nacieron todos 
    seguiditos, sin revés, 
    año a año y uno a uno, 
    testigos de un gran querer. 

    Al mayor de estos bebés 
    la mamá lo cuadruplica, 
    siendo ella duplicada 
    por un abuelo ¡rediez!

    Los años de los abuelos 
    equidistan entre si, 
    y su diferencia duplica 
    a la de los papás ¡ojo ahí! 

    Conviene también saber 
    que el abuelo mas jovial 
    antecede al que duplica 
    a la fecunda mamá. 

    Si quieres hacer constar 
    que es buena tu aplicación, 
    dime, en años nada más, 
    la edad de cada persona 
    de este enorme batallón.

 


La vida de Diofanto

Diophantos fue un matemático griego de la escuela de Alejandría (s.IV d.C.). Estudió la resolución de ecuaciones y, en especial, fue un innovador en su teoría de ecuaciones de primer y segundo grados. Pero sabemos poco de su vida. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático, que reproducimos a continuación:
 

    ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar ¡oh, milagro! cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. 

    Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. 

    Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, quien entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre en la tierra. 

    Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años a su querido hijo.

 

Se trata de averiguar cuántos años vivió Diofanto, a qué edad se casó, cuándo tuvo su primer hijo y a qué edad lo perdió.



 
 

Ganas de discutir

Caminaban juntos dos arrieros, castellano uno, Isidro, y aragonés el otro, Jorge, por los reales caminos del siglo XVI, llevando en sus barricas ocho cántaras de vino. El sol hacía rato que calentaba cuando empezaron a conversar:
ISIDRO:   Cambiemos de montura que a su borrico lo veo desfallecer. Vuesa merced pasa de las 6  arrobas y media.
JORGE:   Pero hombre, Isidro ¡que pesamos lo mismo! 216 libras justas. Será que el asno no ha comido.

ISIDRO:    ¡Válgame Dios! No exagere vuesa merced. Pesamos 163 libras y una onza, como mucho.

JORGE:    ¡Rediez con el castellano! Pesamos 2.592 onzas, ni más ni menos.

ISIDRO:    ¡Esto es la caraba! Son 2.608 onzas y 11 adarmes.

JORGE:    ¡Por las barbas de ...! Antes menos libras y ahora más onzas. No continuaré discutiendo. Callemos, ¡voto a tal!

Pero el camino es largo y al cabo de cierto tiempo ...

JORGE:    Perdone vuesa merced, faltan 52.250 varas y llegaremos al atardecer. ¿Paramos a comer?

ISIDRO:    Ca, Jorge. Faltan 48.250 varas y llegaremos a mediodía.

JORGE:    ¡Voto a tal! Otra vez por debajo. Vuesa merced se equivoca de mucho y ¡ya está bien!

ISIDRO:   ¡Ya basta! A tozudez no hay quien le gane. Cada vez que abre la boca es para decir tonterías.

JORGE:    ¡Esta sí que es buena! Además insultos. ¡Se acabó! Cada uno por su lado.

ISIDRO:    De acuerdo, repartamos.

No tienen otra medida para hacer la partición ni otras vasijas que las tres donde llevan el vino, que son tres pellejos de 8, 5 y 3 cántaras respectivamente (el pellejo de 5 cántaras es de Isidro). Con ellas tienen que arreglarse para medir y separar las cuatro cántaras que corresponden a cada uno.
 

 
CASTILLA 
***** 
4 arrobas=100 libras=46 Kg 
16 onzas=256 adarmes 
1,79 gr=8 tomín 
1 vara=0,836 m
******* 
***** 
1 quintal 
1 libra 
1 adarme 
---------
ARAGÓN 
***** 
4 arrobas=144 libras=50 Kg 
12 onzas=192 adarmes 
1,79 gr=3 tomín 
1 vara=0,772 m
 


¿Juego con ventaja?

 Se dispone de tres cartas en una bolsa, coloreadas por ambas caras de blanco / blanco, rojo / rojo y blanco / rojo respectivamente. Se extrae una carta y se coloca sobre la mesa sin que se vea el color de la cara oculta. Supongamos que la cara visible es blanca. El jugador razona de la siguiente manera:

Esta carta es la blanca / blanca o la blanca / roja.Por lo tanto, la cara oculta o es blanca o es roja, con el 50% de posibilidades para cada color. Yo apuesto a que es blanca. ¡Hagan señores sus apuestas!

¿Es equitativo este juego?
 



 

Parejas de viaje

En un conocido programa de TV se enfrentan tres chicos y tres chicas que no se conocen previamente. Tras contar sus preferencias, gustos, diferentes modos de pensar, aficiones, etc., eligen cada uno secretamente un/a compañero/a de viaje. Si coincide una pareja en la elección se ganan un viaje a Andorra. Así de sencillo, pero yo me pregunto: ¿es fácil ganar el premio? Suponiendo que la elección fuese aleatoria,  


 
 

© Antonio Aranda
 

Última actualización: 7 de marzo de 1998.