UNIDAD DIDÁCTICA: "GRÁFICAS DE FUNCIONES"
La presente unidad didáctica fue experimentada con alumnos de 3º de E.S.O. durante el curso 1996-97 en las dos últimas semanas del segundo trimestre. Debido a las limitaciones de tiempo sólo se utilizaron 7 de las actividades previstas. Las actividades fueron extraídas de diversos materiales y presentadas a los alumnos como figuran aquí.
ÍNDICE
Objetivos Específicos de la Unidad Didáctica
Actividades propuestas por los alumnos
Entre todos los objetivos de la etapa de secundaria obligatoria una unidad didáctica sobre gráficas de funciones puede contribuir a desarrollar en los alumnos los siguientes:
La unidad didáctica se centrará principalmente en desarrollar las capacidades de los últimos tres objetivos.
Los objetivos del área de Matemáticas en la E.S.O. son:
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
CONCEPTOS:
Matizando aún más los conceptos básicos a estudiar son:
PROCEDIMIENTOS:
ACTITUDES:
La metodología que vamos a usar en la exposición de este tema, consistirá en que a partir de actividades propuestas al alumno, deduciremos las consecuencias que nos interesen y, que nos permitan introducir los conceptos, de acuerdo con los contenidos y objetivos propuestos en la presente unidad didáctica.
Las actividades en el aula, serán realizadas en grupos de cuatro alumnos, permitiendo a cada grupo, con planteamientos diferentes de los ejercicios, exponerlos en clase.
Cada alumno tendrá en su cuaderno individual las actividades realizadas tanto individualmente como en grupo.
Para conseguir que el aluminio emplee el lenguaje matemático preciso en cada situación, le daremos libertad para que inicialmente utilice su vocabulario, pero conforme vayamos avanzando en el tema haremos más exigible un correcto lenguaje matemático.
Todos los días dejaremos una cuestión pendiente para que el alumno individualmente la inicie y lo complete en casa.
Daremos gran importancia a que el alumno vaya adquiriendo confianza en sus conocimientos y razonamientos.
Después de realizar algunas actividades de presentación-motivación, que nos sirvan para detectar las ideas previas que tienen los alumnos, se les repartirá un esquema con todos los conceptos básicos que vamos a estudiar en una gráfica.
El esquema servirá de guía para el estudio de todas las gráficas, y en cada ejercicio se responderá a las cuestiones propuestas en él y se intentará que estudien todas las características posibles de la gráfica.
Después de realizar las actividades que desarrollan el tema se propondrá a los alumnos que utilicen el esquema para realizar el estudio de una gráfica que aparezca en un medio de comunicación (periódico, revista, etc.).
Otra actividad propuesta al alumno será que busquen una gráfica e intenten proponer cuestiones sobre ella que posteriormente serán respondidas por sus compañeros.
Al final de la unidad didáctica se presentan tres actividades propuestas por los alumnos.
Esquema: ESTUDIO DE UNA GRÁFICA:
- En la gráfica ¿hay puntos o líneas?
-¿Tiene sentido unir los puntos?
-¿Cuándo aumenta y cuándo disminuye la función?
-¿Se repite la forma de la gráfica?
-¿Qué ocurre para valores muy grandes?
De las actividades propuestas, no todas han sido trabajadas en el aula. El desarrollo de la unidad se ha realizado en las dos últimas semanas del 2º trimestre y sólo ha sido posible realizar el estudio de 7 actividades de entre las siguientes:
Cada punto de este gráfico representa una bolsa de azúcar.
COMENTARIO SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
Esta actividad fue la primera gráfica que trabajaron los alumnos. Al trabajar con ella se demuestra que, en general los alumnos identifican correctamente el que una bolsa es más pesada cuanto más a la derecha está el punto que la representa y más cara cuanto más arriba se encuentre.
Los resultados obtenidos al resolver cada cuestión son:
Cuestión |
% Correctas |
% Incorrectas |
A |
90% |
10% |
B |
85% |
15% |
C |
62% |
38% |
D |
83% |
17% |
E |
81% |
19% |
La C fue incorrecta en general porque detectaron una de las dos parejas.
En el gráfico de abajo tenemos una fotografía de la familia López: Juan es el abuelo, los hijos de Bella y José son Pablo que va a la guardería, Pepe está estudiando 3º de E.S.O., Alicia que estudia medicina y Luis.
¿Quién está representado por cada uno de los puntos del diagrama de la derecha?
¿Es apropiada la escala utilizada? Razona la respuesta.
(Realiza las hipótesis que consideres oportunas)
Realiza una representación de toda la familia donde representes en el eje horizontal la edad y el eje vertical la altura de cada uno de ellos.
COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
En esta gráfica se han analizado dos aspectos:
a)Identificar cada punto de la gráfica con cada miembro de la familia.
b)Analizar si la escala utilizada es o no correcta.
Los resultados obtenidos son los siguientes:
A partir del resultado de este segundo aspecto se dirige el trabajo en clase, y se recuerda la importancia de las escalas en los ejes con explicación en la pizarra de otro ejemplo, y entonces aproximadamente un 20 % de los alumnos responde de forma acertada.
En un pueblo del interior se han tomado distintas mediciones de la temperatura a lo largo de un día de Enero. Éstas vienen reflejadas en la gráfica:
Comenta su significado y completa la siguiente tabla:
Hora del día |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
Temperatura (ºC) |
COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
La totalidad de los alumnos al realizar esta actividad han completado bien la tabla sin haber explicado previamente la relación tabla-gráfica.
El comentario sobre la gráfica no ha sido dirigido, y se han obtenido los siguientes resultados:
Si A y B representan bolas de distinto material y tamaño, a la vista de los diagramas, indica si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes:
Nota: Elige el diagrama adecuado a la vista de las magnitudes que vayas a comparar en cada caso.Un fin de semana cinco personas hicieron llamadas telefónicas a varias partes del país. Anotaron el coste de sus llamadas y el tiempo que estuvieron en el teléfono en la siguiente gráfica:
Responde razonadamente las siguientes cuestiones:
COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
La metodología que se ha utilizado ha sido:
Los resultados obtenidos en la prueba individualizada son:
Cuestión |
% Correctas |
% Incompletas |
% Incorrectas |
A |
87% |
13% |
|
B |
55% |
32% |
13% |
C |
53% |
30% |
17% |
D |
58% |
27% |
15% |
G |
40% |
60% |
|
H |
30% |
70% |
E. En esta pregunta hubo contestaciones de todo tipo:
Todos pusieron una conferencia |
4% |
Solo Pepe puso una conferencia |
46% |
Todos menos Ana |
16% |
Pepe y María |
15% |
Pepe y Bella |
10% |
Otras |
9% |
F. Las respuestas fueron:
Ana |
52% |
Ana y Bella |
18% |
Ninguno |
4% |
Todos menos Pepe |
13% |
María y Ana |
5% |
Otras |
8% |
Tuvieron muchas dificultades para encontrar en las guías las tarifas, y después de encontrarlas la mayoría no sabía interpretar la información de tarifas que aparece en las guías telefónicas.
El número de botes de refrescos vendidos a través de una máquina en una estación de cercanías está indicado por la tabla siguiente:
Hora del día |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Temperatura (ºC) |
Vamos a lanzar un par de dados sobre una mesa, uno azul y otro rojo y sumaremos sus resultados. Podemos representar los lanzamientos situando un punto en la trama:
COMENTARIOS A LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
Esta actividad representó bastante dificultad para los alumnos, en principio no entendían el significado de la palabra trama y aunque algunos supieron que representaba el punto señalado, la mayoría necesito de la aclaración del profesor para entender lo que significaban los ejes y el punto de la trama.
Después de poner varios ejemplos de posibles resultados la mitad de los alumnos realizaron una especie de tabla donde aparecían los posibles valores de los dados para la obtención de un 8. A ninguno se le ocurrió utilizar números negativos ni decimales pero dos alumnos consideraron los pares de puntos (0, 8), (1, 7), (8, 0) y (7, l).
La representación de los puntos la realizaron todos bien. No hubo ningún alumno que obtuviera una relación funcional entre las dos variables relacionadas.
Con respecto a la pregunta de qué se observa gráficamente algunos alumnos respondieron después de contestar a la de unir los puntos, que en todos los casos era afirmativo.
Si colgamos un muelle por un extremo y, aplicamos un peso en el otro, se produce un alargamiento que se refleja en la tabla:
Peso (g.) |
100 |
200 |
300 |
400 |
Alargamiento (cm.) |
El gasoil que hay en un depósito de un autobús viene representado por la siguiente gráfica:
COMENTARIOS A LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
Los resultados obtenidos al resolver cada cuestión son:
Cuestión |
% Correctas |
% Incorrectas |
A |
46% |
54% |
B |
38% |
62% |
C1 |
58% |
42% |
C2 |
23% |
77% |
D |
12% |
88% |
E |
42% |
58% |
A continuación vamos a comentar las respuestas incorrectas:
A)Un gran porcentaje de alumnos responde 120 litros pensando que es la capacidad del depósito y que está lleno al comenzar el viaje. Un alumno responde 10 litros.
B)En este caso el error cometido por los alumnos es de precisión ya que muchos ponen 90 litros, otros responden 100 1. intercambiando los litros de llegada con los de la última salida.
C1)La mayoría de los alumnos que fallaron dejaron la respuesta en blanco.
C2)Como en la cuestión anterior hay muchos alumnos que no responden, otros dan como respuesta el número de litros que puso el conductor, y por último hay dos alumnos que responden 80 litros.
D)La respuesta errónea más usada es 100 litros.
E)En este caso las respuestas eran ciertas pero incompletas.
Rafa y Alicia son compañeros de clase y quedan un día para salir. Rafa sale de su casa y recoge a Alicia, que tarda un poco en bajar. Después dan un paseo y se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regreso se acercan a casa de unos compañeros a recoger unos apuntes y allí se entretienen un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada.
RESPONDE:
COMENTARIOS A LAS RESPUESTAS DE LOS ALUMNOS
Esta actividad se les propuso a los alumnos en un examen, comentaremos las cuestiones una por una:
VAR. DEP. = Y VAR. INDEP. = X
La mitad de los alumnos responde correctamente a la primera pregunta pero solo el 20% de ellos es capaz de razonarla.
Se alquila un microbús de 12 plazas para realizar una excursión, por un total de 36.000 pesetas:
Cuando empecé a estudiar inglés, el primer mes no me enteraba de nada. Los tres meses siguientes me ilusioné porque aprendía muy rápidamente. La ilusión decayó un poco el cuarto y el quinto mes porque ya no lo veía claro. Los tres últimos meses del curso me parecía que no avanzaba apenas.
Representa la evolución del aprendizaje a lo largo de los meses del curso.
Inventa una historia para cada una de las gráficas siguientes:
En la segunda gráfica, elige también las magnitudes, las unidades y las escalas.
Un oficial gana 1.500 ptas. a la hora y su ayudante 1.000 ptas. a la hora. Un día, el ayudante empieza a trabajar a las 8 de la mañana y el oficial a las 10.
Varios amigos deciden ir al camping y llevan una cuerda para delimitar su territorio. Se colocan junto a un riachuelo por lo que el recinto rectangular que forman con los 50 m de cuerda sólo tiene tres lados (2 anchos y 1 largo).
ACTIVIDADES PROPUESTAS POR LOS ALUMNOS
Se recogen a continuación tres actividades propuestas por los alumnos. Las actividades no han sido modificadas ni se han corregido los errores de expresión que puedan tener. Debido a la finalización de1 trimestre no ha sido posible proponer las actividades al resto de los compañeros.
LA PESETA
Dada la gráfica:
BANCO EXTERIOR
MORTALIDAD
Dada la gráfica: