4) Determinación de máximos y mínimos. Problemas de optimización.

    Veamos qué ocurre con la recta tangente a la gráfica de una función tanto en los máximos relativos como en los mínimos relativos, siempre tiene que ser paralela al eje X, y por tanto el ángulo que forma con dicho eje tiene que ser siempre cero. Como la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, en los extremos relativos la derivada de la función tiene que ser siempre cero.

Teorema 3.-

    Sea a un punto donde f es derivable, entonces, si a es un extremo relativo se tiene que f'(a)=0.
A éste mismo resultado se puede llegar teniendo en cuenta que en un extremo relativo la función tiene que cambiar el sentido del crecimiento y aplicando el teorema 1 se tiene que f'(a)=0.
Observar que si f'(a)=0 no quiere decir que se tenga en a un extremo relativo (véase la gráfica del apartado 7)
Para determinar los máximos y mínimos relativos existen dos métodos:

    A) Se obtienen los intervalos de monotonía y se estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. Si en uno de esos intervalos la función es creciente y en el siguiente decreciente, siendo el extremo común de los intervalos un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos un máximo; si la función es decreciente y en el siguiente intervalo es creciente, siendo el extremo común del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua, tenemos un mínimo.
    Los puntos en los que la función no sea continua tendremos que estudiarlos aparte.
    Si nos fijamos en el ejemplo del apartado 2 se tendría entonces que en (a,f(a)) y en (c,f(c)) hay un mínimo y que en (d,f(d)) hay un máximo.

    B) El segundo método se basa en el hecho siguiente: supongamos que f'(a)=0 y que f''(a)<0, entonces por el teorema 2 se tiene que f' es estrictamente decreciente en un intervalo centrado en a y por tanto si x es punto de ese intervalo menor que a, como f'(a)=0 se tendrá que f'(x)>f'(a)=0 y por tanto la función para puntos menores que a es creciente; por otro lado si x es un punto de ese intervalo con x mayor que a, como f'(a)=0 y f'es decreciente se tiene que f'(x)<f'(a)=0 y por tanto para puntos mayores que a la función f es decreciente. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que en a la función tiene que tener un máximo. Razonando de forma similar en el caso de que f'(a)=0 y f''(a)>0 se tiene que en a hay un mínimo (Realizar el razonamiento como ejercicio). Se tiene entonces el:

Teorema 4.-

    i) Sea a un punto donde f es derivable con f'(a)=0 y f''(a)<0, entonces en a hay un máximo relativo.

    ii) Sea a un punto donde f es derivable con f'(a)=0 y f''(a)>0, entonces en a hay un mínimo relativo.

    Por tanto, para determinar los extremos relativos se calcula la segunda derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado tiene signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar nada y tendríamos que recurrir a la derivada tercera, si evaluando la derivada sale distinto de cero no es un extremo relativo, si por el contrario sale cero tendríamos que recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que con la segunda y así sucesivamente hasta que logremos clasificar ese punto.

    En general en los problemas de optimización (problemas en los que se trata de hallar los máximos o mínimos de una función, los veremos sólo con ejercicios) se utiliza el método B) mientras que en la representación gráfica de funciones se utiliza el A).

 
 
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