6) Determinación de los intervalos de concavidad.

    Veamos cómo determinar fácilmente el sentido de la concavidad de una función. Abajo tenemos la gráfica de una función cóncava hacia arriba en la que se han trazado distintas tangentes a esa gráfica.

 

    Si llamamos a esos ángulos a ,b ,g ,d , se tiene que 01<d <g <901<a <b <1801, y que a<b<c<d y por tanto sus tangentes estarían ordenadas como sigue tg a <tg b <tg d <tg l y por tanto las derivadas en esos puntos, al ser las pendientes de las rectas tangentes, verifican que f'(a)<f'(b)<f'(c)<f'(d), es decir la derivada primera tiene que ser creciente, por tanto si f es cóncava hacia arriba entonces f' es creciente y utilizando el teorema 1 se concluye que 0 f''. Con un razonamiento análogo para una función cóncava hacia abajo (véase la gráfica de la derecha y realízalo como ejercicio) se obtiene el:

Teorema 5.-

a) Si f es cóncava hacia arriba entonces 0f''.

b) Si f es cóncava hacia abajo entonces f''0.

 
 
 
 
 
 

Teorema 6.-

Sea f una función entonces:

a) Si f''>0 entonces f es cóncava hacia arriba.

b) Si f''<0 entonces f es cóncava hacia abajo.

Dem.

a) Sea f''>0; entonces f es o cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si fuese cóncava hacia abajo se tendría por el teorema 5 que f''0 y esto es una contradicción, por tanto la única posibilidad es que sea cóncava hacia arriba.

b) Se obtiene con un razonamiento análogo al del apartado a) (realizarlo como ejercicio). c.q.d.

     Para determinar los intervalos de concavidad se realizan los siguientes pasos:

a) se obtiene la segunda derivada de f y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero

b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por extremos los ceros de la segunda derivada, los puntos de acumulación del dominio que no sean del dominio y los puntos donde no exista la segunda derivada

c) posteriormente se estudia el signo de la segunda derivada en cada uno de esos intervalos (en esos intervalos el signo de la segunda derivada es siempre el mismo)

d) en donde tenga signo positivo la función es cóncava hacia arriba y donde tenga signo negativo la función es cóncava hacia abajo.

Por ejemplo, supongamos que Dom (f)=R-{b}, que a y c son ceros de la segunda derivada, que en d la función es continua y no existe la segunda derivada y que a<b<c<d entonces la tabla quedaría:

 
 
]-,a[
]a,b[
]b,c[
]c,d[
]d,+[
Signo de f''
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si además el signo de la segunda derivada lo calculamos se obtiene:
 
 
]-,a[
]a,b[
]b,c[
]c,d[
]d,+[
Signo de f''
-
-
+
Concavidad
/\
V
/\
/\
V
 
 
 Inicio